Physic Labs

Vật lý vật chất ngưng tụ

Khí electron tự do và mức Fermi

Mô hình electron tự do xem electron dẫn như khí fermion chuyển động trong thể tích lớn, chịu thống kê Fermi–Dirac. Lấp đầy các trạng thái tại T=0 xác định mặt Fermi, năng lượng Fermi và áp suất suy biến.

在最简模型中，忽略离子晶格势、电子相互作用与散射，把导电电子近似为盒中自由粒子。尽管简化，它可估算费米尺度并解释金属电子热容很小等现象。

EF=(ℏ2/2m)(3π2n)(2/3),kF=(3π2n)(1/3)E_F = (ℏ²/2m)(3π²n)^(2/3), k_F=(3π²n)^(1/3)

Định nghĩa: Năng lượng và vectơ sóng Fermi

n là mật độ electron tự do, m là khối lượng electron (hoặc khối lượng hiệu dụng trong mô hình thích hợp). kF bán kính mặt cầu Fermi trong không gian k ba chiều đẳng hướng; EF là năng lượng ở mặt ấy tại T=0.

Điều chỉnh nhiệt độ và mật độ để khám phá phân bố lượng tử và các đại lượng liên quan.

Đếm trạng thái

Trong thể tích V với hai trạng thái spin, số trạng thái bên trong mặt cầu bán kính kF là N=VkF³/(3π²). Đặt n=N/V thu được công thức trên. Hệ số spin hai đã được tính; bỏ qua hệ số này sẽ làm sai mật độ đáng kể.

g(E)∝√E(gazlibre3D)g(E) ∝ √E (gaz libre 3D)

Mật độ trạng thái tăng theo căn bậc hai năng lượng trong 3D cho dispersion parabolique. Chỉ lớp mỏng cỡ kBT quanh EF thay đổi chiếm khi tăng nhiệt độ, vì các trạng thái sâu dưới mức Fermi đã bị lấp kín.

Ví dụ: Bài tập mẫu

Với mật độ n, nếu n tăng gấp 8 thì EF thay đổi ra sao?

Lời giải

EF ∝ n^(2/3), nên EF tăng 8^(2/3)=4 lần.

Trắc nghiệm nhanh

Mặt cầu Fermi xuất hiện khi lấp đầy các trạng thái k đến bán kính kF, tính cả hai trạng thái spin. Tại T=0, áp suất lượng tử không phải do nhiệt mà do nguyên lý Pauli: nén khí làm tăng kF và năng lượng tổng. Với khí electron tự do ba chiều, mật độ năng lượng bằng 3nEF/5 và áp suất bằng 2nEF/5. Đây là áp suất suy biến; khi tương tác Coulomb hay mạng tinh thể quan trọng, mô hình cần được mở rộng.

Trong kim loại thực, mặt Fermi thường không phải hình cầu: thế tuần hoàn làm cong các dải và có thể tạo nhiều túi electron hoặc lỗ trống. Phép đo dao động de Haas–van Alphen theo từ trường cho thông tin về tiết diện cực trị của mặt này. Vì vậy khí electron tự do là điểm khởi đầu để xây dựng trực giác, còn cấu trúc vùng và khối lượng hiệu dụng mới quyết định định lượng các tính chất vận chuyển.

Nếu mật độ electron tăng 8 lần, năng lượng Fermi của khí electron tự do tăng bao nhiêu lần?

Dấu nào nằm ở mẫu số của phân bố tương ứng?

Tài liệu tham khảo

  1. Landau, Lifshitz (1980). Statistical Physics
  2. Charles Kittel, Herbert Kroemer (1980). Thermal Physics