Physic Labs

Điện động lực học

Hệ phương trình Maxwell

Bốn phương trình Maxwell liên hệ điện tích, dòng điện và sự biến thiên của điện trường–từ trường.

Dạng vi phân cho biết quan hệ cục bộ giữa trường và nguồn; dạng tích phân diễn đạt thông lượng và tuần hoàn qua một mặt hay đường kín.

∇⋅E=ρ/ε0,∇⋅B=0,∇×E=−∂B/∂t,∇×B=μ0J+μ0ε0∂E/∂t∇·E = ρ/ε₀, ∇·B = 0, ∇×E = −∂B/∂t, ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t

Định nghĩa: Đại lượng và mô hình

Gauss điện: ∇·E = ρ/ε₀. Gauss từ: ∇·B = 0. Faraday: ∇×E = −∂B/∂t. Ampère–Maxwell: ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t.

Điều chỉnh tham số và xoay hình để quan sát cấu trúc trường; mô hình minh họa, không thay phép giải Maxwell tổng quát.

Diễn giải và hệ quả

Lấy phân kỳ phương trình Ampère–Maxwell cùng phương trình liên tục ∂ρ/∂t + ∇·J = 0 cho thấy hạng ∂E/∂t cần thiết để bảo toàn điện tích.

Ví dụ: Ví dụ định lượng

Trong chân không không nguồn, lấy xoáy của Faraday rồi dùng Ampère–Maxwell thu được ∇²E − μ₀ε₀∂²E/∂t² = 0, với tốc độ c = 1/√(μ₀ε₀).

Lời giải

Thay số vào quan hệ đã nêu, giữ nhất quán đơn vị SI và kiểm tra thứ nguyên của kết quả.

Phân kỳ hai phương trình xoáy cho ta ∂tρ+∇⋅J=0\partial_t\rho+\nabla\cdot J=0, miễn là Gauss điện đúng ban đầu; đây là phương trình liên tục của điện tích. Ngược lại, nếu bảo toàn điện tích là nền tảng, hạng dòng điện dịch là điều kiện để định luật Ampère tương thích với nó. Dạng tích phân giúp đọc ý nghĩa vật lý: từ thông điện qua mặt kín đếm điện tích, còn tuần hoàn trường quanh biên liên hệ với dòng dẫn và tốc độ biến thiên từ thông điện.

Định luật Gauss và hai phương trình xoáy tạo thành một hệ tiến hóa có ràng buộc. Từ ∇⋅B=0\nabla\cdot B=0, ta suy ra ∇⋅(∇×E)=0\nabla\cdot(\nabla\times E)=0 đồng nhất; từ Gauss điện, tính nhất quán thời gian gắn với phương trình liên tục. Khi giải bài toán ban đầu, cần thỏa hai điều kiện Gauss lúc ban đầu; các phương trình xoáy sau đó duy trì chúng. Cấu trúc này hữu ích cả trong tính toán số, nơi sai số có thể làm trôi các ràng buộc.

Ở chân không, các hằng số ε0\varepsilon_0 và μ0\mu_0 ấn định tốc độ truyền hữu hạn c=(μ0ε0)−1/2c=(\mu_0\varepsilon_0)^{-1/2}. Đây không chỉ là kết quả của một nghiệm sóng: nó liên kết các phép đo điện, từ với cấu trúc nhân quả của điện từ học.

Trắc nghiệm nhanh

Trong trường hợp lý tưởng được mô tả, hệ thức nào là đúng?

Khi áp dụng một công thức trường, điều cần kiểm tra trước tiên là gì?

Tài liệu tham khảo

  1. James Clerk Maxwell (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism
  2. David J. Griffiths (2017). Introduction to Electrodynamics