电动力学

静磁学与矢量势

稳恒电流产生无散的磁场；令 B = ∇×A 即自动满足 ∇·B = 0。

静磁学中电流密度 J 不随时间变化。安培定律确定 B 的旋度，矢量势 A 在边值问题和量子力学中很有用。

解释与推论

A 并非唯一：规范变换 A′ = A + ∇χ 不改变 B。在电动力学中，标势 φ 与 A 给出 E = −∇φ − ∂A/∂t。

矢量势依赖规范，但沿闭合回路的环量固定：$\oint A\cdot d\ell=\int B\cdot dS$。这是对 $B=\nabla\times A$ 应用斯托克斯定理。对于导线回路，磁通变化产生感应电动势 $\mathcal E=-d\Phi_B/dt$，因此矢量势将场的几何与电磁感应直接联系起来。

在库仑规范下，$A$ 的每个分量都满足泊松方程。积分解依赖整个电流分布，而非单个点；再取旋度得到 $B$。选择其他规范可简化边界条件或对称性，但不会改变可观测量。电流随时间变化时，必须以推迟势取代这种瞬时积分，以体现信号传播速度有限。

矢量势的积分解具有非局域性：所有源点的电流都以 $1/|r-r'|$ 为权重贡献。在单连通区域，库仑规范选出一个方便的代表，但边界和拓扑可能留下剩余自由度。对细导线，闭合回路的环量与任一张成曲面上的磁通相关；所选曲面必须与电流源所在区域和边界条件相容。

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