牛顿力学

力矩与刚体平衡

力矩衡量绕轴转动的作用；刚体平衡要求合力与合力矩均为零。

推门时，在远离铰链的把手处施力比靠近铰链处更容易转动。转动效果取决于力、力臂和施力方向。

\vec\tau=\vec r\times\vec F, \qquad |\tau|=rF\sin\theta=F d_\perp, \qquad \sum\vec F=\vec0,\quad \sum\vec\tau_O=\vec0

定义: 力矩

$\vec r$ 从选定原点/轴 $O$ 指向力的作用点； $d_\perp$ 是轴到力作用线的垂直距离。力矩单位为N·m，方向遵循右手定则。合力为零时，对任意取矩点的转动平衡条件相同。

调整两侧的力与力臂，观察合力矩与杠杆倾斜。

刚体平衡

静力平衡要求平动和转动加速度均为零：合力及对某点的合力矩都为零。平面问题中常选取能消去未知力力矩的支点。

例题: 平衡木杆

距转轴0.40 m处有一垂直30 N力。另一侧距轴0.60 m处需施加多大的垂直力才能平衡力矩？

解答

力矩平衡： $30(0.40)=F(0.60)$ ，得 $F=20\,\mathrm N$ ，方向产生相反转动。

处理平面问题时，先规定一个转动方向为正，并保持各力矩符号一致。作用线通过支点的力矩为零，但它仍计入合力。力矩平衡本身不保证力平衡：杆可能没有角加速度，却仍在平动。因此要分别检查两项条件；杆不可忽略其质量时，还应计入杆的重力。

力矩取决于所选参考点。平衡问题中，可选取经过某个未知力作用点的转轴，使该力矩从方程中消去。用力矩平衡求出另一力后，再回到合力方程求支持力。对有尺寸的物体，重力作用于质心，并不一定作用在杆端。

沿转轴到作用点连线方向的力对该轴的力矩是多少？

刚体静力平衡条件是什么？