牛顿力学

匀速圆周运动与向心力

匀速圆周运动中速率不变但速度方向改变；向心加速度 v²/r 需要指向圆心的合力。

物体沿圆周匀速运动时速率不增加，但方向不断改变。因为速度矢量变化，即使速率恒定也存在加速度。

a_c = \frac{v^2}{r}=\omega^2r, \qquad F_c = m\frac{v^2}{r}, \qquad v=\omega r

定义: 向心加速度与合力

$r$ 为半径(m)， $v$ 为切向速率(m/s)， $\omega$ 为角速度(rad/s)。“向心”描述加速度和合力的方向，并非一种新力；张力、摩擦力或重力都可提供该合力。

改变半径和速率，观察切向速度、加速度和向心力。

方向变化产生的加速度

极短时间内的两个速度矢量大小近似相等但方向不同，其差矢量指向圆心，得到 $a_c=v^2/r$ 。周期 $T=2\pi/\omega$ ，频率 $f=1/T$ 。

例题: 汽车转弯

汽车以10 m/s驶过半径50 m的弯道。求向心加速度。

解答

$a_c=v^2/r=10^2/50=2\,\mathrm{m/s^2}$ ，方向指向曲率中心。

求向心力时，应先画受力图并将各力沿指向圆心的径向分解；不要额外添加一种“向心力”。质量800 kg的汽车以15 m/s通过半径45 m的弯道，需要向内的力 $F=mv^2/r=4.0 imes10^3$ N。水平路面上由轮胎与路面的摩擦力提供；摩擦不足时汽车会滑离圆轨道。

匀速圆周运动中，各点速度沿圆的切线，加速度指向圆心，因此两矢量互相垂直。一周路程为 $2pi r$ ，由周期 $T$ 得 $v=2pi r/T$ 。半径不变时速率加倍，由于加速度与 $v^2$ 成正比，所需加速度变为四倍。

角速度 $omega$ 是单位时间内扫过的角度，单位为rad/s。半径固定时，角速度恒定也意味着线速度恒定。将每分钟转数换算为rad/s时乘以 $2pi/60$ 。

匀速圆周运动中的瞬时加速度指向哪里？

速率不变，轨道半径加倍，向心加速度如何变化？