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量子微扰理论 当哈密顿量接近可解问题时，微扰理论可估算能级与本征态的变化。
许多实际哈密顿量无法精确求解。写成 H = H 0 + λ V H=H_0+\lambda V H = H 0 + λV H 0 H_0 H 0 V V V λ \lambda λ
E n = E n ( 0 ) + λ ⟨ n ∣ V ∣ n ⟩ + λ 2 ∑ m ≠ n ∣ ⟨ m ∣ V ∣ n ⟩ ∣ 2 E n ( 0 ) − E m ( 0 ) + O ( λ 3 ) E_n=E_n^{(0)}+\lambda\langle n|V|n\rangle+\lambda^2\sum_{m\ne n}\frac{|\langle m|V|n\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}+O(\lambda^3) E n = E n ( 0 ) + λ ⟨ n ∣ V ∣ n ⟩ + λ 2 m = n ∑ E n ( 0 ) − E m ( 0 ) ∣ ⟨ m ∣ V ∣ n ⟩ ∣ 2 + O ( λ 3 ) 定义: 一阶修正
对非简并态 ∣ n ⟩ |n\rangle ∣ n ⟩ Δ E n ( 1 ) = λ ⟨ n ∣ V ∣ n ⟩ \Delta E_n^{(1)}=\lambda\langle n|V|n\rangle Δ E n ( 1 ) = λ ⟨ n ∣ V ∣ n ⟩ ∣ m ⟩ |m\rangle ∣ m ⟩ ⟨ m ∣ V ∣ n ⟩ / ( E n ( 0 ) − E m ( 0 ) ) \langle m|V|n\rangle/(E_n^{(0)}-E_m^{(0)}) ⟨ m ∣ V ∣ n ⟩ / ( E n ( 0 ) − E m ( 0 ) )
逐渐打开二态系统的耦合微扰，追踪其能级。 简并与能谱 若多个态具有相同未扰动能量，应先在简并子空间内对角化 V V V δ \delta δ g g g 2 ( δ / 2 ) 2 + ∣ g ∣ 2 2\sqrt{(\delta/2)^2+|g|^2} 2 ( δ /2 ) 2 + ∣ g ∣ 2 2 ∣ g ∣ 2|g| 2∣ g ∣
例题: 例：势阱中的能级移动
无限深势阱内的常数微扰 V ( x ) = V 0 V(x)=V_0 V ( x ) = V 0 V 0 V_0 V 0 λ V 0 \lambda V_0 λ V 0
解答 由 Δ E n ( 1 ) = λ ⟨ n ∣ V 0 ∣ n ⟩ \Delta E_n^{(1)}=\lambda\langle n|V_0|n\rangle Δ E n ( 1 ) = λ ⟨ n ∣ V 0 ∣ n ⟩ ⟨ n ∣ n ⟩ = 1 \langle n|n\rangle=1 ⟨ n ∣ n ⟩ = 1 Δ E n ( 1 ) = λ V 0 \Delta E_n^{(1)}=\lambda V_0 Δ E n ( 1 ) = λ V 0
常见误区. 微扰级数常是渐近而非收敛级数。当耦合远小于相关能级间隔时低阶近似可靠；接近简并时须变换基底或对耦合子空间对角化。 非简并能级的一阶能量修正为 E n ( 1 ) = ⟨ n ∣ V ∣ n ⟩ E_n^{(1)}=\langle n|V|n\rangle E n ( 1 ) = ⟨ n ∣ V ∣ n ⟩ E n ( 2 ) = ∑ m ≠ n ∣ V m n ∣ 2 / ( E n ( 0 ) − E m ( 0 ) ) E_n^{(2)}=\sum_{m\ne n}|V_{mn}|^2/(E_n^{(0)}-E_m^{(0)}) E n ( 2 ) = ∑ m = n ∣ V mn ∣ 2 / ( E n ( 0 ) − E m ( 0 ) ) V V V
快速检测 非简并能级的一阶能量修正是什么？
λ⟨n|V|n⟩ λ²⟨n|V|n⟩ ⟨n|H₀|n⟩ 总为零
简并能级的微扰应如何处理？
在简并子空间内对角化 V 不是正确条件 不是正确条件 不是正确条件