Điện động lực học

Từ tĩnh và thế vector

Dòng điện không đổi tạo từ trường không có đơn cực; viết B = ∇×A tự động thỏa mãn ∇·B = 0.

Trong từ tĩnh, mật độ dòng J không đổi theo thời gian. Định luật Ampère xác định độ xoáy của B, còn thế vector A hữu ích khi giải bài toán biên và trong cơ học lượng tử.

Diễn giải và hệ quả

A không duy nhất: phép biến đổi A′ = A + ∇χ không đổi B. Trong điện động lực học, thế vô hướng φ cùng A mô tả E = −∇φ − ∂A/∂t.

Thế vector phụ thuộc gauge, nhưng tuần hoàn của nó quanh đường kín không đổi: $\oint A\cdot d\ell=\int B\cdot dS$. Đây là định lý Stokes áp dụng cho $B=\nabla\times A$. Với một vòng dây, thông lượng từ quyết định sức điện động cảm ứng qua $\mathcal E=-d\Phi_B/dt$; vì vậy thế vector nối trực tiếp hình học của trường với cảm ứng điện từ.

Trong gauge Coulomb, mỗi thành phần của $A$ thỏa mãn phương trình Poisson. Nghiệm tích phân phụ thuộc toàn bộ phân bố dòng, không chỉ một điểm; sau khi tìm $A$, lấy xoáy để thu $B$. Gauge khác có thể đơn giản hóa điều kiện biên hoặc đối xứng, nhưng không làm thay đổi đại lượng đo được. Khi dòng biến thiên theo thời gian, tích phân tức thời này phải được thay bằng thế trễ để tôn trọng tốc độ truyền hữu hạn.

Dạng tích phân của nghiệm thế vector cho thấy tính không cục bộ: nguồn dòng ở mọi điểm đóng góp với trọng số $1/|r-r'|$. Trong miền đơn liên thông, gauge Coulomb chọn một đại diện thuận tiện, nhưng biên và tô-pô có thể để lại bậc tự do dư. Với dây mảnh, tích phân đường quanh dây liên hệ với từ thông xuyên qua mọi mặt căng trên đường đó; việc chọn mặt phải nhất quán với miền nguồn và điều kiện biên.

Trắc nghiệm nhanh