粒子物理学

量子场论中的重整化

重整化将依赖尺度的发散吸收到重新定义的场和参数中；可观测量保持有限，耦合常数随能标跑动。

圈积分涵盖任意大的动量，导致紫外发散。先用截断或其他一致方案正则化，再用重整化尺度 μ 上测得的量表达结果。

\mu\frac{dg}{d\mu}=\beta(g),\qquad g_0=Z_g(g,\Lambda/\mu)g(\mu)

定义: 定义与物理意义

裸参数依赖正则化器且不可直接观测；重整化参数依赖 μ，而全阶计算后的物理预测不依赖 μ。β 函数决定跑动。

调节参数并拖动图形探索模型；读数是在所示假设下的定量示例。

结构与解释

重整化群（RG）比较不同 μ 尺度的物理。求解 RG 方程使有效耦合变化：QED 随能量缓慢增大，QCD 因 β 为负而在高能减小，产生渐近自由。

例题: 定量示例

QCD 一圈 β(g)=−b₀g³/(16π²)+…，当味数足够小时 b₀=11−2n_f/3>0。因此 αₛ(Q²)≈4π/[b₀ ln(Q²/Λ²)] 随 Q 增大而减小。

解答

对数随 Q 增长，故 αₛ 减小；在 Q≈Λ 附近一圈表达式失效，耦合变强，需要格点 QCD 等非微扰方法。

重整化计算先要选定方案，例如维数正则化中的最小减除。极点项吸收到质量、场和耦合常数的反项中；重整化量由参考尺度上的测量确定。改变参考尺度会改变跑动参数，但一致构造的物理预言在全阶上保持不变。

尺度 $\mu$ 是定义参数的参考尺度，并不自动代表物理截断能。微扰计算截断在有限阶时，预言仍会有少量 $μ$ 依赖；其变化可估计未计算高阶的不确定度。不同重整化方案可给耦合常数不同数值，但精确转换后给出相同的可观测预言。

哪个方程描述耦合 g 的跑动？

QCD 耦合在高能处如何变化？