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分析力学

广义坐标与自由度

用单摆演示广义坐标与完整约束：只用角度 θ\theta 而非 (x,y)(x, y) 描述位置。检验 x=lsin⁡θx = l\sin\theta、y=−lcos⁡θy = -l\cos\theta 与自由度公式 f=3N−kf = 3N - k。

大学

器材

  • 带刚性杆约束的虚拟单摆
  • 角度 θ 与摆长 l 滑块
  • 约束圆（位形流形）显示

实验步骤

  1. 数自由度

    观察图1：长度为 ll 的刚性杆系着摆锤绕悬点转动。平面上的位置本来需要2个坐标 (x,y)(x, y)，但约束 x2+y2=l2x^2 + y^2 = l^2 去掉一个——只剩 f=2−1=1f = 2 - 1 = 1 个自由度。拖动"角度 θ"滑块，确认单个变量即可确定整个位形。

  2. 笛卡尔坐标与 θ 的关系

    根据滑块上的 θ 和 l 计算 x=lsin⁡θx = l\sin\theta、y=−lcos⁡θy = -l\cos\theta，再与图上摆锤位置对照。试 θ=90°\theta = 90°：摆锤水平，x=lx = l，y=0y = 0。试 θ=−90°\theta = -90° 看对称性——广义角从竖直向下方向量起。

  3. 考察位形流形

    在图2中把 θ 从 −170°-170° 扫到 +170°+170°：位形点沿整圆运行——位形流形是圆 S1S^1，而非平面。改变"摆长 l"，圆半径变化但拓扑结构不变。结论：广义坐标"生活"在约束所确定的弯曲流形上。

模拟

实验历史

用适应约束的变量描述运动的思想源于分析力学传统。1788年，约瑟夫-路易·拉格朗日出版《分析力学》，用"广义坐标"qiq_i 与方程 ddt∂L∂q˙i=∂L∂qi\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i}（L=T−UL = T - U）重写了整个牛顿力学。这本书以没有一个插图著称——通篇皆是代数。 1834–35年，威廉·罗恩·哈密顿提出最小作用量原理，进而建立相空间 (qi,pi)(q_i, p_i) 上的哈密顿形式运动方程。该框架之普遍，以至于量子力学后来直接借用：哈密顿的正则变量变成算符，泊松括号变成对易子。

相关物理学家

Isaac Newton约瑟夫-路易·拉格朗日

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