分析力学

哈密顿正则方程、相空间

在相空间中跟踪谐振子，验证哈密顿方程 $\dot q=\partial H/\partial p$ 、 $\dot p=-\partial H/\partial q$ ，包括正则剪切 $Q=q$ 、 $P=p+\alpha q$ 如何保持相面积不变。

大学

器材

读取相轨道
运行振子，观察点在 $(q,p)$ 中描出闭合环线。每个点是一个状态而非物理位置；对 $H=p^2/2m+\tfrac12m\omega^2q^2$ ，环线是包围面积 $2\pi E/\omega$ 的椭圆。
检验流向
在环线顶部暂停：此处 $\dot q=\partial H/\partial p=p/m$ 为零、 $\dot p=-\partial H/\partial q=-m\omega^2q$ 取极值——轨道在此转向。检验运动为顺时针，且各象限中 $\dot q$ 、 $\dot p$ 的符号相符。
比较变换后的坐标
观察虚线 $Q=q$ 、 $P=p+\alpha q$ （ $\alpha=0.7$ ）：椭圆被剪切并倾斜，但因 $\mathrm dQ\wedge\mathrm dP=\mathrm dq\wedge\mathrm dp$ ，所围面积不变。这就是正则变换——同样的动力学，新的坐标。
改变能量
移动能量滑块 E，观察椭圆变大：半轴按 $\sqrt{E}$ 缩放而面积线性增长。先预测 E 加倍时的轨道形状再验证——并解释相面积守恒为何称为刘维尔定理。

威廉·罗恩·哈密顿在1834–35年围绕单一函数

H(q,p)

重构力学，用对称的一阶方程对

\dot q_i=\partial H/\partial p_i

、

\dot p_i=-\partial H/\partial q_i

取代拉格朗日的二阶方程。该体系最初为光学而建，数十年后才进入主流力学。相空间随后赋予统计力学语言：刘维尔定理（1838）指出哈密顿流保持体积不变，这是吉布斯系综的基础。哈密顿结构也是量子理论的地基——q 与 p 的对易子呼应其经典泊松括号

\{q,p\}=1

。