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分析力学

欧拉—拉格朗日方程

用无摩擦单摆观察欧拉–拉格朗日方程 ddt∂L∂θ˙−∂L∂θ=0\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}-\frac{\partial L}{\partial\theta}=0 的作用：验证 θ¨=−(g/l)sin⁡θ\ddot\theta=-(g/l)\sin\theta 以及相图上的能量守恒。

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器材

  • 摆动画与相平面图 $(\theta,\dot\theta)$
  • “释放角 θ₀”滑块
  • “长度 l”滑块
  • 相图上的能量与等能量等高线显示

实验步骤

  1. 释放单摆

    设定较小的释放角 θ₀（约 10° 以下）并运行。相平面上的轨迹接近椭圆——小角度下 sin⁡θ≈θ\sin\theta\approx\theta，得到角频率 ω=g/l\omega=\sqrt{g/l} 的简谐运动。

  2. 验证能量守恒

    观察轨道沿一条等能量等高线（青绿色线）运行：因拉格朗日量不显含时间，E=12ml2θ˙2+mgl(1−cos⁡θ)E=\tfrac12ml^2\dot\theta^2+mgl(1-\cos\theta) 保持不变。暂停并比较轨迹与等高线。

  3. 推向大角度

    把 θ₀ 提高到 90° 乃至更大：相曲线偏离椭圆，周期变长，因为真实回复加速度 −(g/l)sin⁡θ-(g/l)\sin\theta 在大角度弱于线性。测量两个振幅下的周期并比较。

  4. 改变长度

    移动长度滑块 l，计时前先用 T=2πl/gT=2\pi\sqrt{l/g} 预测新周期——l 变为四倍应使 T 加倍。在相图上确认能级与轨道形状随 l 重新定标。

模拟

实验历史

莱昂哈德·欧拉在18世纪40年代发展了变分法，承接伯努利家族的最速降线问题和皮埃尔·德·莫佩尔蒂的最小作用原理（1746）。约瑟夫-路易·拉格朗日尚在少年时便于1755年致信欧拉，给出了后来成为欧拉–拉格朗日方程的系统方法。 拉格朗日的《分析力学》（1788）自豪地“不用图形”完成了这一纲领：选好坐标 qiq_i，构造 L=T−VL=T-V，运动方程便对任何系统——单摆、行星或场——自动得出。这一表述后来经由费曼路径积分对量子力学、经由最小作用原理对场论变得不可或缺。

相关物理学家

Isaac Newton莱昂哈德·欧拉约瑟夫-路易·拉格朗日皮埃尔-路易·莫佩尔蒂

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