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分析力学

广义动量与哈密顿量

用哈密顿图像研究谐振子：曲面 H(q,p)=p2/(2m)+mω2q2/2H(q,p) = p^2/(2m) + m\omega^2 q^2/2 与相空间轨道。检验等值线 H=EH = E 是椭圆，其 qmax=2E/mω2q_{max} = \sqrt{2E/m\omega^2}，pmax=2mEp_{max} = \sqrt{2mE}。

大学

器材

  • “1. 曲面 H(q, p)”画布：振子的三维能量曲面，可拖动或用方向键旋转
  • “2. 相平面上的轨道”画布：对应某一能级的相椭圆
  • “角频率 ω”滑块（50–200 rad/s）
  • “能量 E”滑块（20–180 J）
  • 读数“H(q,p)=…, ω=…, E=…”与“qmax = √(2E/mω²) = …; pmax = √(2mE) = …”

实验步骤

  1. 读取能量曲面上的哈密顿量

    在第1节中拖动“角频率 ω”和“能量 E”，读取“H(q,p)=p²/(2m)+mω²q²/2; m=1 kg, ω=…, E=…”。拖动旋转曲面，可见 ω 越大势能 mω2q2/2m\omega^2q^2/2 越陡；H = 常数的平面沿椭圆截切曲面。

  2. 测量相椭圆的半轴

    转到第2节，读取“qmax = √(2E/mω²)”和“pmax = √(2mE)”。自行验算：ω = 100 rad/s、E = 80 J（m = 1 kg）应得 qmax=2⋅80/1002=0.126q_{max} = \sqrt{2\cdot80/100^2} = 0.126 m，pmax=160=12.65p_{max} = \sqrt{160} = 12.65 kg·m/s。与画布上的椭圆尺寸对照并记录。

  3. 检验哈密顿方程的切向流

    观察相椭圆：在 q = qmax 处 p = 0 且 p˙=−mω2q<0\dot p = -m\omega^2 q < 0，状态点向下运动；在 p = pmax 处 q˙=p/m>0\dot q = p/m > 0，点向右运动——轨道在 (q, p) 平面上顺时针绕行。改变 ω 与 E：椭圆缩放，但流向与 H=EH = E 守恒不变。

  4. 预测改变 ω 与 E 的效果

    拖动滑块前先预测：ω 加倍时 qmax 减半，但 pmax 不变（只依赖 E）；增大 E 时两半轴均按 E\sqrt{E} 缩放。椭圆面积 A=πqmaxpmax=2πE/ωA = \pi q_{max}p_{max} = 2\pi E/\omega——固定 E 改变 ω 再读两个值，乘积 qmax·pmax 应恰好按 1/ω 缩小。

模拟

实验历史

1788年，约瑟夫-路易·拉格朗日出版《分析力学》，用广义坐标 q_i 和共轭动量 p_i = ∂L/∂q̇_i 重新表述力学，无需受力图。阿德里安-马里·勒让德更早（1787年）引入了以他命名的变换，把自变量从 q̇ 换成 p。 1834–1835年，威廉·罗恩·哈密顿发表两篇《论动力学的一般方法》，把拉格朗日的二阶方程改写为 2n 个一阶方程 q˙i=∂H/∂pi\dot q_i = \partial H/\partial p_i、p˙i=−∂H/∂qi\dot p_i = -\partial H/\partial q_i，其中 H=∑piq˙i−LH = \sum p_i\dot q_i - L。当 H 不显含时间时它守恒并等于能量——模拟中显示的等值面 H(q,p) = E 正是如此。

相关物理学家

Isaac Newton约瑟夫-路易·拉格朗日

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