分析力学

刘维尔定理

直观展示刘维尔定理：哈密顿流保持相空间体积（ $\nabla_{(q,p)}\cdot\dot z = 0$ ）。观察轨道在二维不变环面上的缠绕，并改变频率比 $\omega_2/\omega_1$ ，看轨道结构如何变化而环面——运动积分的等值面——保持不变。

进阶

器材

观察环面上的轨道
观察画布中红色曲线缠绕环面；拖动或用方向键旋转视角。读数说明该环面代表双自由度可积系统的二维等值面——即 $J_1 =$ 常数、 $J_2 =$ 常数的面。面上每个初始点都留在面上：相流既保持集合也保持其体积。
改变缠绕比 ω₂/ω₁
拖动“Tỉ lệ quấn ω₂/ω₁”滑块并观察旁侧读数（按 value/100 显示）。比值接近简单有理数（0.50、1.00、1.50）时轨道几圈后近乎闭合；无理数比值则使曲线稠密覆盖环面。按“Tạm dừng”细察轨道形状，再按“Chạy tiếp”继续。
联系相体积守恒
注意：无论 ω₂/ω₁ 如何变化，曲线始终留在同一环面上——既不溢出也不缩成一点。这正体现了两个结论：环面不变（因为作用量 $J_i$ 守恒）以及刘维尔定理保持相体积 $\nabla_{(q,p)}\cdot\dot z = 0$ 。比较两个相差较远的比值，并预测在无理数比值下轨道将布满整个环面。

1838年，法国数学家约瑟夫·刘维尔证明哈密顿方程生成的相流是不可压缩的：相空间

(q, p)

中初始状态区域的形状会变形，但体积不变，表示为

\nabla_{(q,p)}\cdot\dot z = 0

。这一结果后来成为统计力学的基础——相空间上的概率密度

\rho

满足连续性方程。模拟的几何层面涉及轨道结构：对具有

n

个自由度的可积系统，德洛内（1840年代）的作用–角变量理论经刘维尔（1855年）完整表述、并由 V. I. 阿诺德给出现代严格证明，表明紧致的等值面是

n

维环面，其上的运动是以频率

\omega_i

的线性流。在二维环面上，

\omega_2/\omega_1

为有理数时轨道闭合，为无理数时稠密覆盖环面——正如图示。