凝聚态物理学

自由电子气与费米能级

考察自由电子气：观察 k 空间中的球形费米面，检验 $k_F = (3\pi^2 n)^{1/3}$ 与 $E_F \propto n^{2/3}$ ，并观察费米–狄拉克分布在 $E_F$ 附近 $\sim k_BT$ 的热展宽。

进阶

器材

改变密度并测量费米半径
增大“密度／频率”：占据态增多，k 空间中的费米球变大。将半径与 $k_F = (3\pi^2 n)^{1/3}$ 、边缘能量与 $E_F = \hbar^2k_F^2/2m \propto n^{2/3}$ 对照——按“暂停”读取占据态数目。
扫动温度观察费米边变模糊
低温时占据分布近似阶梯：ε < E_F 全满，ε > E_F 全空。升高“温度”：只有 $E_F$ 附近 $\sim k_BT$ 宽的带会变模糊——费米球深处的电子无法被激发，因为邻近态已被占据（泡利原理）。
改变状态数并推论结果
扫动“状态数”观察态密度变化，再结合密度 n 预测电子热容：只有费米面附近 $\sim T/T_F$ 的小部分电子参与，故 $C_V \propto T$ ——与经典值每粒子 $3k_B/2$ 大相径庭。

1900 年，保罗·德鲁德把导电电子建模为经典气体：能解释维德曼–夫兰兹定律，却无法解释电子热容——经典统计让每个粒子贡献

3k_B/2

，与实验相悖。费米与狄拉克建立新统计（1926）后，阿诺德·索末菲 1928 年将其用于金属电子：只有费米面附近

\sim k_BT

内的粒子能被激发，自然给出

C_V \propto T

和与温度无关的泡利磁化率。由于

E_F

为几 eV，“费米温度”

T_F \sim 10^4

–

10^5

K，室温下的金属仍是简并气体——正是模拟所示的阶梯分布。