非线性动力系统、定点与分岔

器材

• “参数 μ”滑块（−100…+100）
• “初始条件 x₀”滑块
• 带演化箭头的 $\dot{x}$–$x$ 矢量场图
• 欧拉法积分的解 x(t) 曲线

实验步骤

1. 在矢量场图上找平衡点

   设 μ > 0，观察曲线 $\dot{x} = \mu - x^2$ 与横轴交于两点：$x^* = \pm\sqrt{\mu}$。增大 μ 两点分离；μ 趋近 0 时两点靠拢。

2. 用初始条件检验稳定性

   保持 μ > 0，把“初始条件 x₀”拖到上平衡点两侧再看 x(t)：从 $x_0 > -\sqrt{\mu}$ 出发的解收敛到 $+\sqrt{\mu}$（稳定）；从其下方出发的解漂向 $-\infty$——证实上平衡点不稳定，与 $f'(x) = -2x$ 的符号一致。

3. 跨越鞍结分叉

   把 μ 降到 0 以下：两个平衡点在 $x^* = 0$ 处合并并消失——鞍结分叉。μ < 0 时所有轨道都逃逸；作为检验，记录平衡点出现时的 μ 值，并与代数预测 $\mu_c = 0$ 对照。

模拟

实验历史

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