量子力学

波函数及其概率诠释

叠加一维盒子中 $n=1$ 与 $n=2$ 两个定态，观察密度 $|ψ|^2$ 以拍频 $\omega = \Delta E/\hbar$ 随时间振荡，并检验归一化 $\int|ψ|^2dx = 1$ 。

大学

器材

容纳两个各具时间相位本征态的一维势箱
设定叠加比例的“n=2 态占比”滑块
两能级间“能量差”滑块
可旋转的 ψ 与密度 $|ψ|^2$ 3D 图

实验步骤

改变叠加成分
将“n=2 态占比”从 0 扫到 100：为 0 时密度是单峰的 n=1 形；为 100 时出现 n=2 特有的中心节点。中间取值时 $|ψ|^2$ 随时间在箱的两半之间来回摆动。
改变能量差并测量拍频
增大“能量差”，观察 $|ψ|^2$ 振荡加快。本征态携带相位 $e^{-iE_nt/\hbar}$ ，故叠加密度含 $\cos(\omega t)$ 项， $\omega = (E_2-E_1)/\hbar$ ——将观察周期与此式对照。
检验归一化与概率诠释
无论混合比例如何， $|ψ|^2$ 曲线下面积都保持为 1——模拟在图上注明了这一点。选定一个比例，在两个不同时刻暂停，预测盒子的哪一半探测概率更大；解释 $|ψ|^2$ 是概率密度而非粒子轨道。

模拟

实验历史

1926 年初，埃尔温·薛定谔发表“态函数”ψ 的波动方程，建立在路易·德布罗意物质波假说（1924）之上。薛定谔本人起初希望 ψ 是真实的物质密度，但同年马克斯·玻恩在分析散射问题时提出

|ψ|^2

是发现粒子的概率密度；他因这一诠释获 1954 年诺贝尔奖。概率诠释使量子力学成为预言测量结果比率的理论：如本模拟所示，叠加两个本征态会产生频率为

\Delta E/\hbar

的密度拍——这正是原子中可测的拉比振荡与跃迁率的来源。

相关物理学家

马克斯·玻恩 Erwin Schrödinger Louis de Broglie

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