经典统计力学

能量均分定理

直观展示能量均分定理：在经典平衡下，哈密顿量中每个二次型自由度对平均能量贡献 $\langle H_x \rangle = \frac{1}{2}k_BT$ 。改变温度与活跃自由度数量，观察能量柱如何随 $T$ 变化。

进阶

器材

观察能量柱随温度变化
第 1 节中每根柱对应一个自由度，高度随 $T$ 缩放。把“Nhiệt độ”滑块从 0.3 拖到 3，观察所有柱同步升高；读取读数中的“T = … (normalized)”，并把线性趋势与 $\langle H_x \rangle = \frac{1}{2}k_BT$ 对照。
改变活跃自由度数量
把“Tham số”滑块依次调到 0.5、1.0、1.5、2.0；点亮的柱数（活跃自由度）随之改变。注意总能量与自由度数量成正比——例如单原子分子有 3 个平动自由度，故 $\langle E \rangle = \frac{3}{2}k_BT$ ；谐振子有两个二次型项，故 $\langle E \rangle = k_BT$ 。
对照定量视图
第 2 节的图在归一化坐标轴上随两个滑块更新；拖动画布改变视角。固定“Nhiệt độ”改变“Tham số”，再反过来操作——确认能量随 $T$ 和自由度数量线性变化，符合维里–均分关系 $\langle x\,\partial H/\partial x \rangle = k_BT$ 的精神。
预测量子极限
把“Nhiệt độ”拖到模型最低值 0.3。经典情形下柱仍随 $T$ 成比例，但真实体系中当 $k_BT \ll \hbar\omega$ 时振动模“冻结”，贡献小于 $\frac{1}{2}k_BT$ ——这正是 $T \to 0$ 时固体热容下降的原因。先预测再读数：经典热容为每粒子 $C_V = \frac{f}{2}k_B$ ，其中 $f$ 为自由度数。

能量均分定理源于气体动理论。1860年，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦导出气体分子速度分布，使平均动能可以计算；1868–1871年，路德维希·玻尔兹曼将其推广到多自由度体系，证明在经典平衡下能量均分于各二次型自由度——每项

\frac{1}{2}k_BT

。该定理解释了理想气体和许多固体的热容（杜隆–珀替定律，1819年），但在低温下失效。1900年，开尔文勋爵在皇家研究院演讲中提出笼罩物理学的“两朵乌云”，其一与均分定理和黑体辐射相关；同年普朗克把能量交换量子化，爱因斯坦（1907年）将其用于固体热容——当

k_BT \ll \hbar\omega

时模被“冻结”，标志着经典定理的界限。