量子力学

量子谐振子

观察量子谐振子的定态：概率密度与能级位置随量子数 n 的变化。验证等间距能谱 $E_n = \hbar\omega\left(n + \tfrac{1}{2}\right)$ 和非零零点能。

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器材

观察基态 n = 0
把「Số lượng tử n」设为 0：画布显示无节点的钟形概率密度，读数行给出「Eₙ/ℏω = 0.5」。注意零点能 $E_0 = \tfrac{1}{2}\hbar\omega \neq 0$ ——粒子在抛物势阱中不可能静止。
逐个查看激发态并验证能级等间距
将「Số lượng tử n」依次调到 0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5。每次记录「Eₙ/ℏω」，核对相邻能级之差等于「Eₙ₊₁ − Eₙ = ℏω」。与 $E_n = \hbar\omega\left(n + \tfrac{1}{2}\right)$ 对照：读数应依次为 0.5、1.5、2.5、3.5、4.5、5.5。
数节点并研究概率密度形状
在每个能级 n，拖动画布旋转视角，数出概率密度曲线节点（密度为零的点）的个数：恰好 n 个，且曲线尾部渗入经典禁戒区。注意大 n 时密度集中在两个转折点附近，趋近经典分布。
与经典谐振子比较并作预测
在把「Số lượng tử n」调到新值之前，用 $E_n = \hbar\omega\left(n + \tfrac{1}{2}\right)$ 预测「Eₙ/ℏω」并核对读数。结论：与可取任意连续能量的经典谐振子不同，量子谐振子只能取等间距能级，最低能量为 $\hbar\omega/2$ 。

1900年，马克斯·普朗克在黑体辐射问题中引入能量量子化，把振子视为以 hν 的整数倍交换能量。在现代量子力学中，薛定谔于1926年求解抛物势的波动方程，得到厄米–高斯型本征函数和等间距能级

E_n = \hbar\omega(n+1/2)

；海森堡在1925年已从矩阵力学推出同样的能谱。同在1926年，保罗·狄拉克发展了产生–湮灭算符 a† 与 a 的方法，把全部问题归结为对量子数 n 的计数——成为量子场论和量子光学的基础工具。零点能

\hbar\omega/2

是不确定性原理的直接结果：被抛物势束缚的粒子不可能静止。