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振动与波

弹簧振子

研究服从胡克定律 F=−kxF = -kx 的理想弹簧振子。改变质量、劲度、振幅,验证周期 T=2πm/kT = 2\pi\sqrt{m/k} 与角频率 ω=k/m\omega = \sqrt{k/m}。

高中

器材

  • 竖直平面内悬挂物块的理想弹簧
  • 质量 m 和劲度 k 滑块
  • 振幅 A 滑块与暂停按钮
  • 位移/力图与物理量读数

实验步骤

  1. 检验线性回复力

    运行模拟并在不同位移处暂停:弹力始终指向平衡位置且与 ∣x∣|x| 成正比,即 F=−kxF = -kx。改变劲度 k,可看到相同位移对应不同的力。

  2. 测量周期随 m 和 k 的变化

    固定 k,将 m 调至多个值并计时一个完整振动:周期随 m\sqrt{m} 增大。再固定 m 增大 k:周期按 1/k1/\sqrt{k} 减小。逐点与 T=2πm/kT = 2\pi\sqrt{m/k} 对照。

  3. 验证与振幅无关

    固定 m、k,改变振幅 A:周期应保持不变——这是线性力产生简谐运动的标志。同时观察能量:机械能 E=12kA2E = \frac{1}{2}kA^2 随振幅平方增长,尽管 T 不变;拖动 A 前先预测 E。

模拟

实验历史

1660年胡克发现弹簧伸长量与作用力成正比,1676年以字谜“ut tensio, sic vis”(如此伸长,如此之力)发表。约1675年他将弹簧用作钟表摆轮游丝,与惠更斯争夺优先权。 牛顿将与位移成正比的力纳入微分方程(1687)后,简谐运动理论成形。1878年瑞利勋爵《声学原理》把弹簧振子系统化为一切平衡附近微小振动的标准模型——贯穿力学、电子学与固体物理的原理。

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