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第 3 题

波长为 λ\lambda 的光子与初始静止的电子发生散射，散射光子相对入射方向偏转角 θ\theta。求波长改变量 Δλ\Delta\lambda 和反冲电子动能。电子质量为 mem_e，光速为 cc，普朗克常数为 hh。 (a) 联立能量、动量守恒及电子的相对论关系，推导康普顿波长改变量 Δλ\Delta\lambda。(b) 求光子损失的能量，并说明它等于电子反冲动能。(c) 求前向散射 θ=0\theta=0 与反向散射 θ=π\theta=\pi 的极限，指出哪种情形反冲最大。 电子初始静止，光子动量为 h/λh/\lambda。散射后的电子应使用相对论关系。 入射光子能量为 hc/λhc/\lambda，散射光子与反冲电子共同承担动量守恒。求波长改变量和电子动能。 前向散射时波长改变量应为零，反向散射时应达到最大。两种极限可检验推导式中的角度因子和电子反冲能量。 光子能量损失必须非负，且偏转角增大时康普顿位移不减。
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
λ′=λ+hmec(1−cos⁡θ),Ke=hc(1/λ−1/λ′)\lambda\prime=\lambda+\frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta),\quad K_e=hc(1/\lambda-1/\lambda\prime)
problems.proof.analysis

代入 E=hc/λE=hc/\lambda、E′=hc/λ′E\prime=hc/\lambda\prime 并约去公因子，得到康普顿波长偏移。电子动能等于两光子能量之差。

problems.proof.pitfall. 易错点：对反冲电子使用非相对论动能守恒。其动能等于总能量减去 mec2m_ec^2，也等于光子损失的能量。