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国际物理奥林匹克 · 2025年

试题

  1. 第 1 题质量为 mm、半径为 RR 的均匀实心球从静止开始沿倾角 α\alpha 的斜面纯滚动。其绕球心转动惯量为 I=25mR2I=\tfrac25mR^2，重力加速度为 gg。求质心加速度 aa 以及下降高度 hh 后的速度 vv。 (a) 联立平动方程、转动方程和纯滚动约束，求加速度 aa 以及静摩擦力的大小和方向。(b) 用机械能守恒求下降高度 hh 后的速度 vv 和角速度，并计入转动动能。(c) 检验结果是否依赖 RR，并解释纯滚动时静摩擦为何不耗散机械能。 均匀实心球转动惯量为 2mR2/52mR^2/5，忽略空气阻力和滚动阻力。 无滑动约束联系平动与转动，静摩擦使球转动。下降损失的重力势能转化为平动动能和转动动能两部分。 静摩擦方向应由运动方程推得，而不是先验假定。最后确认平动与转动动能之和恰等于重力势能的减少量。 加速度沿斜面向下，摩擦应提供使球转动的转矩；能量结果不应依赖球半径。解答: 1
  2. 第 2 题可逆卡诺热机在绝对温度 Th>TcT_h>T_c 的两热源间工作，每个循环从高温热源吸收热量 QhQ_h。求效率 η\eta、排出的热量 QcQ_c 和输出功 WW。 (a) 用可逆循环的克劳修斯等式联系 Qh,Qc,Th,TcQ_h,Q_c,T_h,T_c。(b) 由热力学第一定律求功 WW 和效率 η\eta。(c) 考察 Tc→ThT_c\to T_h 与 Tc→0T_c\to0 两种极限并解释其物理意义，说明为何必须使用绝对温度。 热量均表示正的大小，功表示热机对外输出；两热源温度保持恒定。 可逆热机每循环吸收热量 QhQ_h 并排出 QcQ_c。求效率和功，并比较两热源温差消失与冷源温度趋零时的极限。 吸热与排热均按正的大小处理，热力学第一定律中的功按热机输出定义。极限结果应与卡诺效率的物理意义一致。 因 Th>TcT_h>T_c，所得排热小于吸热、输出功为正，效率介于零与一之间。 温差为零时热机不能输出功，冷源温度降低时效率增大；这些极限检验应与公式一致。解答: 1
  3. 第 3 题波长为 λ\lambda 的光子与初始静止的电子发生散射，散射光子相对入射方向偏转角 θ\theta。求波长改变量 Δλ\Delta\lambda 和反冲电子动能。电子质量为 mem_e，光速为 cc，普朗克常数为 hh。 (a) 联立能量、动量守恒及电子的相对论关系，推导康普顿波长改变量 Δλ\Delta\lambda。(b) 求光子损失的能量，并说明它等于电子反冲动能。(c) 求前向散射 θ=0\theta=0 与反向散射 θ=π\theta=\pi 的极限，指出哪种情形反冲最大。 电子初始静止，光子动量为 h/λh/\lambda。散射后的电子应使用相对论关系。 入射光子能量为 hc/λhc/\lambda，散射光子与反冲电子共同承担动量守恒。求波长改变量和电子动能。 前向散射时波长改变量应为零，反向散射时应达到最大。两种极限可检验推导式中的角度因子和电子反冲能量。 光子能量损失必须非负，且偏转角增大时康普顿位移不减。解答: 1