第 1 题
质量为 、半径为 的均匀实心球从静止开始沿倾角 的斜面纯滚动。其绕球心转动惯量为 ，重力加速度为 。求质心加速度 以及下降高度 后的速度 。 (a) 联立平动方程、转动方程和纯滚动约束，求加速度 以及静摩擦力的大小和方向。(b) 用机械能守恒求下降高度 后的速度 和角速度，并计入转动动能。(c) 检验结果是否依赖 ，并解释纯滚动时静摩擦为何不耗散机械能。 均匀实心球转动惯量为 ，忽略空气阻力和滚动阻力。 无滑动约束联系平动与转动，静摩擦使球转动。下降损失的重力势能转化为平动动能和转动动能两部分。 静摩擦方向应由运动方程推得，而不是先验假定。最后确认平动与转动动能之和恰等于重力势能的减少量。 加速度沿斜面向下，摩擦应提供使球转动的转矩；能量结果不应依赖球半径。
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代入转动惯量后总动能为 ，得 。再由无滑动条件得到 。