第 1 题

质量为

m

、半径为

R

的均匀实心球从静止开始沿倾角

\alpha

的斜面纯滚动。其绕球心转动惯量为

I=\tfrac25mR^2

，重力加速度为

g

。求质心加速度

a

以及下降高度

h

后的速度

v

。 (a) 联立平动方程、转动方程和纯滚动约束，求加速度

a

以及静摩擦力的大小和方向。(b) 用机械能守恒求下降高度

h

后的速度

v

和角速度，并计入转动动能。(c) 检验结果是否依赖

R

，并解释纯滚动时静摩擦为何不耗散机械能。均匀实心球转动惯量为

2mR^2/5

，忽略空气阻力和滚动阻力。无滑动约束联系平动与转动，静摩擦使球转动。下降损失的重力势能转化为平动动能和转动动能两部分。静摩擦方向应由运动方程推得，而不是先验假定。最后确认平动与转动动能之和恰等于重力势能的减少量。加速度沿斜面向下，摩擦应提供使球转动的转矩；能量结果不应依赖球半径。

problems.proof.stepOf

a=\frac{g\sin\alpha}{1+I/(mR^2)}

problems.proof.analysis

消去摩擦力，并以 $I/(mR^2)$ 表示转动惯量，得 $a=g\sin\alpha/[1+I/(mR^2)]$ 。实心球惯量中的半径相消。