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第 1 题

质量为 mm 的小物块从半径为 RR 的固定光滑球形穹顶顶端由静止释放，沿球面外侧下滑；取重力加速度 gg 为常量。角度 θ\theta 由顶端竖直方向量至球心与物块连线，范围为 0≤θ<π/20\le\theta<\pi/2。忽略物块大小及阻力，接触期间运动半径保持为 RR。穹顶只能向外推物块，不能将其向内拉回。(a) 用机械能守恒求速度随 θ\theta 的关系。(b) 写出径向牛顿第二定律并说明失去接触的条件。(c) 求脱离角，并解释结果为何与 m,R,gm,R,g 无关。角度可用弧度或角度制表示，但数值近似应标明单位；接触尚未丧失时支持力不能为负。请在消去公共因子前说明各力的方向，并用能量式给出的速度代入径向方程。速率应取非负值，径向正方向须在列方程时保持一致；离开球面后不再施加支持力。这里讨论的是物块沿球面运动的离开点，不是离开后的落地点。结果应符合球面对物块的单边接触约束。即可进行核验。
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
v(θ)=2gR(1−cos⁡θ),cos⁡θleave=23,θleave=arccos⁡(23)≈48.2∘,vleave=2gR3\boxed{v(\theta)=\sqrt{2gR(1-\cos\theta)},\quad\cos\theta_{\rm leave}=\frac23,\quad\theta_{\rm leave}=\arccos\left(\frac23\right)\approx48.2^\circ,\quad v_{\rm leave}=\sqrt{\frac{2gR}{3}}}
problems.proof.analysis

首式给出仍接触时任意角度下的速率；法向力为零的条件给出脱离角 arccos⁡(2/3)\arccos(2/3)。代入可得离开速率 2gR/3\sqrt{2gR/3}；质量从角度条件中消去。