国际物理奥林匹克 · 2024年

试题

第 1 题质量为 $m$ 的小物块从半径为 $R$ 的固定光滑球形穹顶顶端由静止释放，沿球面外侧下滑；取重力加速度 $g$ 为常量。角度 $\theta$ 由顶端竖直方向量至球心与物块连线，范围为 $0\le\theta<\pi/2$ 。忽略物块大小及阻力，接触期间运动半径保持为 $R$ 。穹顶只能向外推物块，不能将其向内拉回。(a) 用机械能守恒求速度随 $\theta$ 的关系。(b) 写出径向牛顿第二定律并说明失去接触的条件。(c) 求脱离角，并解释结果为何与 $m,R,g$ 无关。角度可用弧度或角度制表示，但数值近似应标明单位；接触尚未丧失时支持力不能为负。请在消去公共因子前说明各力的方向，并用能量式给出的速度代入径向方程。速率应取非负值，径向正方向须在列方程时保持一致；离开球面后不再施加支持力。这里讨论的是物块沿球面运动的离开点，不是离开后的落地点。结果应符合球面对物块的单边接触约束。即可进行核验。解答: 1
第 2 题电容为 $C_0$ (空气介质)的平行板电容器充电至电压 $U_0$ 后与电源断开。然后将介电常数为 $\kappa$ 的电介质板插入并充满两极板之间的空隙。求插入电介质前后电容器的能量,并解释其变化。 (a) 求极板电荷、插入后的电容和末态电压。(b) 计算前后电场能量，并用 $\kappa$ 表示能量比。(c) 解释能量减少对应电介质被吸入时的机械功；区分电场功与外力功，并指出断开电源后守恒的量。假设理想平行板且电介质完全充满间隙。初态由空气中电容 $C_0$ 和电压 $U_0$ 确定。不要把断开电源后的电荷守恒与恒压条件混淆。断开电源后电荷保持不变，电介质完全填满间隙时电容变为 $\kappa C_0$ 。能量减少应与电介质被吸入时的功对应。应在相同电荷条件下比较初末能量，并明确外力做功的符号。最终结果须给出电压、能量及机械功的完整表达式。由介电常数大于一可检查末态电压和储能均低于初态，能量差须与电场所做机械功相符。解答: 1
第 3 题两个相干声源以相同振幅和相同初相位发出波长为 $\lambda$ 的声波。在点 $P$ 处两波的程差为 $\Delta r$ 。求点 $P$ 发生相长和相消干涉的条件及相应整数级次。 (a) 由有符号程差 $\Delta r$ 推导 $P$ 点的相位差。(b) 求相长、相消条件及整数级次，并区分程差符号与大小。(c) 判断反转程差符号或反转一个声源初相位是否改变干涉类型；用零程差和半波长程差检验。两声源振幅相等且同相，合振动是正弦波叠加。若声源反相，相长与相消条件互换。一个波长的程差对应相位差 $2\pi$ 。请用整数级次表示极大、极小条件，并分别分析程差反号和声源反相的影响。同相声源在零程差处应出现极大。极小条件使用非负整数级次，并检验反相声源会使两种干涉条件互换。两个等振幅声波的相位差决定合振幅；极大与极小条件必须分别对应相长和相消。极大条件的级次取整数，极小条件用非负整数，避免把同一条干涉条纹重复计数。解答: 1