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第 2 题

理想直流电源的电动势为 E\mathcal E，与电阻 R>0R>0 及理想电感 L>0L>0 串联。开关闭合前电感电流为零；在 t=0t=0 合上开关，并规定沿电源驱动方向为电流正方向。忽略内阻，各元件参数保持恒定。电感两端电压由电流变化率决定，电阻压降遵从欧姆定律；请将两种电压降都计入回路方程。(a) 用基尔霍夫定律建立方程并求 t≥0t\ge0 时的 I(t)I(t)。(b) 求足够长时间后的稳态电流 I∞I_\infty。(c) 求电流达到 0.90I∞0.90I_\infty 的时刻，并检验 t=0t=0 和 t→∞t\to\infty 两端极限。请注意百分比是相对于最终稳态值而非电源电压；所求时间应为正，并具有时间量纲。由于 R,LR,L 均为正，暂态指数衰减，电流应单调趋近稳态值而不越过它。答案中的电流正负号须遵守题首规定的方向，不能与时间增长造成的电流大小增加混淆。达到目标的时刻由相对稳态电流的比例定义，而不是电源电压比例。
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
I(0)=0⇒C=−ER,I(t)=ER(1−e−Rt/L)I(0)=0\Rightarrow C=-\frac{\mathcal E}{R},\quad I(t)=\frac{\mathcal E}{R}(1-e^{-Rt/L})
problems.proof.analysis

令 t=0t=0 得 C=−E/RC=-\mathcal E/R，从而求出电流随时间的表达式。它从零开始，符合电感电流不能瞬间突变。