国际物理奥林匹克 · 2023年

试题

第 1 题质量为 $m$ 的卫星绕质量为 $M$ 的孤立球对称行星作匀速圆周运动，轨道半径 $r$ 从行星中心量起。忽略阻力及卫星对行星的影响，引力常数为 $G$ 。可把行星外部引力场视为全部质量集中于球心，且轨道半径不随时间改变；卫星在径向上只受万有引力作用。(a) 确定卫星受力并写出维持圆轨道的条件。(b) 推导轨道速度 $v$ 和完成一周所需周期 $T$ 。(c) 明确说明结果是否依赖卫星质量 $m$ ，并检查所得表达式的量纲是否分别为速度和时间。请保留正的速率根，并区分速率与沿轨道切线的速度方向。题目没有给出数值，故答案应以已定义的常数和符号表示；可再检验增大中心天体质量时运动应更快这一趋势。应特别注意，题设的 $r$ 是从行星中心量起，不是从表面量起；最终写出的周期应随轨道半径变大而增加。圆周运动中速率虽恒定，速度方向却不断改变，因此仍存在指向中心的加速度。书写方程时应让万有引力方向与向心加速度方向一致。解答: 1
第 2 题理想直流电源的电动势为 $\mathcal E$ ，与电阻 $R>0$ 及理想电感 $L>0$ 串联。开关闭合前电感电流为零；在 $t=0$ 合上开关，并规定沿电源驱动方向为电流正方向。忽略内阻，各元件参数保持恒定。电感两端电压由电流变化率决定，电阻压降遵从欧姆定律；请将两种电压降都计入回路方程。(a) 用基尔霍夫定律建立方程并求 $t\ge0$ 时的 $I(t)$ 。(b) 求足够长时间后的稳态电流 $I_\infty$ 。(c) 求电流达到 $0.90I_\infty$ 的时刻，并检验 $t=0$ 和 $t\to\infty$ 两端极限。请注意百分比是相对于最终稳态值而非电源电压；所求时间应为正，并具有时间量纲。由于 $R,L$ 均为正，暂态指数衰减，电流应单调趋近稳态值而不越过它。答案中的电流正负号须遵守题首规定的方向，不能与时间增长造成的电流大小增加混淆。达到目标的时刻由相对稳态电流的比例定义，而不是电源电压比例。解答: 1
第 3 题高度为 $h_o$ 的实物体置于焦距 $f>0$ 的薄会聚透镜前，物体到光心距离为 $d_o>f$ ，主光轴垂直透镜。采用实物距 $d_o>0$ 、透镜另一侧实像距 $d_i>0$ 的约定，横向放大率为 $m=-d_i/d_o$ ，薄透镜公式为 $1/f=1/d_o+1/d_i$ 。物体位于焦点以外，考虑可在屏上接收的成像；像高正负按垂直主轴的坐标确定。(a) 推导像的位置。(b) 求 $m$ 和像高 $h_i$ 。(c) 判断像的虚实、正倒和大小，并考察 $d_o\to f^+$ 时像的位置与放大率如何变化。还应根据公式判断当物距大于 $2f$ 时像是否缩小。所有距离须使用一致单位，并区分带符号的放大率与其绝对值；不要仅凭负号判断像的大小。只有实像才能投射到屏幕上，虚像则不能直接接收。请将像高的正负解释为方向，而不是物理长度为负。边界情况可用于检验代数式的连续变化是否合理。特别检查物距、焦距均为正。解答: 1