第 1 题

质量为

m

的卫星绕质量为

M

的孤立球对称行星作匀速圆周运动，轨道半径

r

从行星中心量起。忽略阻力及卫星对行星的影响，引力常数为

G

。可把行星外部引力场视为全部质量集中于球心，且轨道半径不随时间改变；卫星在径向上只受万有引力作用。(a) 确定卫星受力并写出维持圆轨道的条件。(b) 推导轨道速度

v

和完成一周所需周期

T

。(c) 明确说明结果是否依赖卫星质量

m

，并检查所得表达式的量纲是否分别为速度和时间。请保留正的速率根，并区分速率与沿轨道切线的速度方向。题目没有给出数值，故答案应以已定义的常数和符号表示；可再检验增大中心天体质量时运动应更快这一趋势。应特别注意，题设的

r

是从行星中心量起，不是从表面量起；最终写出的周期应随轨道半径变大而增加。圆周运动中速率虽恒定，速度方向却不断改变，因此仍存在指向中心的加速度。书写方程时应让万有引力方向与向心加速度方向一致。

problems.proof.stepOf

T=\frac{2\pi r}{v}=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}

problems.proof.analysis

一周路程为 $2\pi r$ ，故 $T=2\pi r/v$ 。代入刚求出的速率并化简，即得周期。