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第 2 题

电容为 CC 且初始未充电的电容器与电阻 RR、电动势恒定的理想直流电源串联。开关在 t=0t=0 闭合；导线理想，忽略电源内阻和寄生效应。规定沿电源给电容充电的方向为正电流，Q(t)Q(t) 表示接正极一侧极板上的电荷。(a) 写出基尔霍夫回路方程，并建立电流与电荷变化率的关系。(b) 求 Q(t)Q(t)、I(t)I(t) 和时间常数。(c) 给出闭合瞬间之后及长时间后的数值，并检查能量守恒。 充电过程中，电阻上的电压降与电容器两端电压之和始终等于电源电压。电荷增加会使电容电压上升，因而电流逐渐减小，暂态响应单调趋向稳态；能量计算时还需考虑电阻产生的焦耳热，而不能把全部源能量都视作储存于电容器。 解答需明确说明所用条件，并区分各项的物理意义；检查各式量纲后，还要在题目假设适用的范围内判断结果是否合理。 推导时保持符号约定一致，最终结果还应能由相应的守恒关系或基本定律直接验证。 同时检查所得方向与大小是否符合题设的物理图景。
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
Q(t)=CE(1−e−t/(RC)),I(t)=ERe−t/(RC),τ=RC;Q(0)=0, I(0+)=ER, Q(∞)=CE, I(∞)=0;Wsrc=CE2, UC=12CE2, WR=12CE2\boxed{Q(t)=C\mathcal E(1-e^{-t/(RC)}),\quad I(t)=\frac{\mathcal E}{R}e^{-t/(RC)},\quad \tau=RC;\quad Q(0)=0,\ I(0^+)=\frac{\mathcal E}{R},\ Q(\infty)=C\mathcal E,\ I(\infty)=0;\quad W_{src}=C\mathcal E^2,\ U_C=\frac12C\mathcal E^2,\ W_R=\frac12C\mathcal E^2}
problems.proof.analysis

框出的表达式给出随时间变化的量和时间常数。并满足初始未充电条件。