第 2 题

电容为

C

且初始未充电的电容器与电阻

R

、电动势恒定的理想直流电源串联。开关在

t=0

闭合；导线理想，忽略电源内阻和寄生效应。规定沿电源给电容充电的方向为正电流，

Q(t)

表示接正极一侧极板上的电荷。(a) 写出基尔霍夫回路方程，并建立电流与电荷变化率的关系。(b) 求

Q(t)

、

I(t)

和时间常数。(c) 给出闭合瞬间之后及长时间后的数值，并检查能量守恒。充电过程中，电阻上的电压降与电容器两端电压之和始终等于电源电压。电荷增加会使电容电压上升，因而电流逐渐减小，暂态响应单调趋向稳态；能量计算时还需考虑电阻产生的焦耳热，而不能把全部源能量都视作储存于电容器。解答需明确说明所用条件，并区分各项的物理意义；检查各式量纲后，还要在题目假设适用的范围内判断结果是否合理。推导时保持符号约定一致，最终结果还应能由相应的守恒关系或基本定律直接验证。同时检查所得方向与大小是否符合题设的物理图景。

problems.proof.stepOf

problems.proof.prevStep problems.proof.nextStep

W_{source}=\mathcal E Q,\quad U_C=\frac{Q^2}{2C},\quad W_R=\mathcal E Q-\frac{Q^2}{2C}

problems.proof.analysis

电源做功 $\mathcal E Q$ ，电容储能 $Q^2/(2C)$ ，其余能量在电阻上转化为热。电源、导线和元件均按题设视为理想。