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第 2 题

理想恒压电源的电动势为 E=12.0 VE=12.0\,\mathrm V，在 t=0t=0 时与电阻 R=200,OmegaR=200,Omega 和电容 C=50.0,μFC=50.0,\mu\mathrm F 串联接通。电容初始未充电，导线和开关均理想。令 q(t)q(t) 为连接电源正极一侧极板上的电荷，i(t)=dq/dti(t)=dq/dt 为充电电流，且 tge0tge0。(a) 求时间常数及函数 q(t)q(t)、i(t)i(t)。(b) 求电容电压达到最终值 9090% 时的时刻及此时的电流。(c) 求该时刻电容器储存的能量，并求 t\toinftyt\toinfty 时电荷和电流的极限。 充电期间电源电压保持恒定，电流正方向规定为从电源经电阻流向电容器。时间以秒计，电容电压与电荷的关系为 VC=q/CV_C=q/C；所求储能仅指电容器中的电场能。 开关闭合后不再改变电源，也没有其他元件或漏电通道。数值答案应写明单位；无限长时间的极限表示充电充分后达到的稳态。 本题的电阻值在整个过程中保持不变。
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
dqdt+qRC=ER,τ=RC=1.00×10−2 s\frac{dq}{dt}+\frac{q}{RC}=\frac ER,\quad \tau=RC=1.00\times10^{-2}\,\mathrm s
problems.proof.analysis

代入 i=dq/dti=dq/dt 并除以 RR 得到一阶线性方程。RCRC 的单位为秒，数值为 0.0100 s0.0100\,\mathrm{s}，即充电时间尺度。