第 2 题

在

t=0

时，将一个初始未充电、电容为

C

的电容器与电阻

R

和电动势为

E

的理想电池串联。规定充电方向的电流为正，忽略内阻。求

t\geq0

时正极板电荷

q(t)

、电流

i(t)

以及电容器储存的能量。假设理想元件参数恒定，

R>0

、

C>0

、

E>0

，开关在

t=0

闭合且电容器初始无电荷。(a) 从基尔霍夫回路定律导出微分方程。(b) 求

q(t)

及电流，并指出电路时间常数。(c) 求电容器能量，并检查

t=0

和

t

很大时的极限。

q

表示正极板电荷，正电流使其增加；稳定后电容电压等于电池电动势，电阻中不再有电流。此外，整个推导中须始终采用题目给出的理想化条件和符号约定。中间状态量应由已知物理定律推导，而不是额外假定。题目未给出特定数值时，答案应写成初始量和常数的符号表达式，并说明符号含义及适用范围；最后将结果代回原关系进行检验。

problems.proof.stepOf

problems.proof.prevStep problems.proof.nextStep

i(t)=\frac{dq}{dt}=\frac{\mathcal E}{R}e^{-t/(RC)},\qquad U_C(t)=\frac{q^2}{2C}=\frac12C\mathcal E^2\left(1-e^{-t/(RC)}\right)^2

problems.proof.analysis

对 $q(t)$ 求导得到充电电流。电容器储存的电场能为 $q^2/(2C)$ ，从而得到所示表达式。