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第 1 题

两个质量均为 mm 的小球用长为 ll 的细线悬挂于同一点,初始时相互接触。给每个小球带上等量电荷 qq 后,它们相互排斥,并在与竖直方向成小角 θ\theta 处达到平衡。试用 mm、ll、θ\theta 表示 qq。 其中 g=9.8 m s−2g=9.8\,\mathrm{m\,s^{-2}}，k=1/(4πϵ0)k=1/(4\pi\epsilon_0) 为库仑常数；忽略球的尺寸，相对于球心距离可视为点电荷，斥力水平，两根细线相对竖直方向对称偏转角 θ\theta。(a) 根据受力平衡求电力与 m,g,θm,g,\theta 的关系。(b) 用 l,θl,\theta 表示球心距，并求精确电荷。(c) 当 theta≪1\\theta\ll1 rad 时推导小角近似式并检查量纲。 角度较小，但精确关系中不得预先近似；球间距取球心距。两球所带电荷符号相同且大小相等。 请明确公式中各物理量的含义和单位，并在推导中始终保留题设给出的几何条件或初始条件。
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
kq2r2=mgtan⁡θ≈mgθ ⇒ q≈4mgl2θ3kk\frac{q^2}{r^2} = mg\tan\theta \approx mg\theta \ \Rightarrow\ q \approx \sqrt{\frac{4mgl^2\theta^3}{k}}
problems.proof.analysis

将 FC=kq2/r2F_C = kq^2/r^2 与 r≈2lθr\approx 2l\theta 代入 FC=mgtan⁡θ≈mgθF_C = mg\tan\theta \approx mg\theta(小角)并解出 qq,可得 q∝θ3/2q \propto \theta^{3/2}——这是一个并不显然的关系,可通过对不同电荷测量 θ\theta 来进行实验验证。

problems.proof.pitfall. 使用 sin⁡θ≈θ\sin\theta\approx\theta 时角度必须用弧度，并注意球心距为 2lsin⁡θ2l\sin\theta。