亚洲物理奥林匹克 · 2024年

试题

第 1 题两个质量均为 $m$ 的小球用长为 $l$ 的细线悬挂于同一点,初始时相互接触。给每个小球带上等量电荷 $q$ 后,它们相互排斥,并在与竖直方向成小角 $\theta$ 处达到平衡。试用 $m$ 、 $l$ 、 $\theta$ 表示 $q$ 。其中 $g=9.8\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ ， $k=1/(4\pi\epsilon_0)$ 为库仑常数；忽略球的尺寸，相对于球心距离可视为点电荷，斥力水平，两根细线相对竖直方向对称偏转角 $\theta$ 。(a) 根据受力平衡求电力与 $m,g,\theta$ 的关系。(b) 用 $l,\theta$ 表示球心距，并求精确电荷。(c) 当 $\\theta\ll1$ rad 时推导小角近似式并检查量纲。角度较小，但精确关系中不得预先近似；球间距取球心距。两球所带电荷符号相同且大小相等。请明确公式中各物理量的含义和单位，并在推导中始终保留题设给出的几何条件或初始条件。解答: 1
第 2 题一摩尔单原子理想气体初态为 $(P_0,V_0,T_0)$ 。先在恒压下加热至体积 $2V_0$ ，再在恒容下冷却回温度 $T_0$ 。求全过程气体所做的功、气体吸收的热量以及内能变化。规定进入气体的热量为正。将气体视为封闭系统，对各状态使用状态方程，并按题定符号区分功与热。(a) 写出第一过程温度与体积的关系，并给出连接点的压强、体积。(b) 分别求各过程做功及总内能变化。(c) 用热力学第一定律求净热量，并解释为何它的符号不必与冷却过程的热量相同。全过程以气体对外做功为正，吸热为正；状态方程适用于每个平衡态。请分别考虑两段过程，再合并结果。此外，整个推导中须始终采用题目给出的理想化条件和符号约定。中间状态量应由已知物理定律推导，而不是额外假定。题目未给出特定数值时，答案应写成初始量和常数的符号表达式，并说明符号含义及适用范围；最后将结果代回原关系进行检验。请明确公式中各物理量的含义和单位，并在推导中始终保留题设给出的几何条件或初始条件。解答: 1
第 3 题一片焦距为 $f>0$ 的薄会聚透镜，物体平面垂直于主轴，放在距透镜 $3f$ 处。采用薄透镜模型，并规定实像的像距为正，求带符号像距 $v$ 、横向放大率 $m$ ，并描述像的性质。采用题定的有符号距离约定，并假设物体足够小以适用近轴近似。(a) 用共轭关系求像的位置。(b) 若物高为 $H$ ，求放大率和像高。(c) 判断像为实像还是虚像、正立还是倒立，并检查量纲是否一致。物距 $u$ 指物体到透镜的正距离，物高 $H$ 以向上为正；像高符号表示像的方向。所有距离均沿主轴测量。此外，整个推导中须始终采用题目给出的理想化条件和符号约定。中间状态量应由已知物理定律推导，而不是额外假定。题目未给出特定数值时，答案应写成初始量和常数的符号表达式，并说明符号含义及适用范围；最后将结果代回原关系进行检验。请明确公式中各物理量的含义和单位，并在推导中始终保留题设给出的几何条件或初始条件。本题结果应同时符合薄透镜成像规律、横向放大率定义以及所选的正负号约定。解答: 1