第 2 题

初始未充电的电容器

C=100\ \mu\mathrm F

在

t=0

时与电阻

R=10\ \mathrm{k\Omega}

及电动势

E=12

V 的理想电源串联。记电容器电荷为

q(t)

、电流为

i(t)=\dot q(t)

。(a) 求时间常数

\tau

和长时间后的电荷

q_\infty

。(b) 写出

q(t)

与

i(t)

的表达式。(c) 求电荷达到终值

90\%

的时刻及该时刻的电流。

problems.proof.stepOf

1-e^{-t_{90}}=0.90\Rightarrow t_{90}=\tau\ln10=2.30\ \mathrm s

problems.proof.analysis

令比值 $q/q_\infty=0.90$ ，解指数项得 $e^{-t/\tau}=0.10$ 。取自然对数即得时间；因 $\tau=1$ s，结果为 $\ln 10$ 。

problems.proof.pitfall. 达到90%的时刻不是

0.9\tau

：指数趋近逐渐变慢，所需时间为

\tau\ln 10

。