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第 2 题

初始未充电的电容器 C=100 μFC=100\ \mu\mathrm F 在 t=0t=0 时与电阻 R=10 kΩR=10\ \mathrm{k\Omega} 及电动势 E=12E=12 V 的理想电源串联。记电容器电荷为 q(t)q(t)、电流为 i(t)=q˙(t)i(t)=\dot q(t)。(a) 求时间常数 τ\tau 和长时间后的电荷 q∞q_\infty。(b) 写出 q(t)q(t) 与 i(t)i(t) 的表达式。(c) 求电荷达到终值 90%90\% 的时刻及该时刻的电流。
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
q(t)=q∞(1−e−t/τ)=1.20×10−3(1−e−t) Cq(t)=q_\infty(1-e^{-t/\tau})=1.20\times10^{-3}\left(1-e^{-t}\right)\ \mathrm C
problems.proof.analysis

通解为终值 q∞q_\infty 加上含任意常数的指数项。初始条件 q(0)=0q(0)=0 决定该常数，得到常见的 1−e−t/τ1-e^{-t/\tau} 形式。