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第 3 题

小声源在静止空气中发出频率为 fsf_s 的纯音，声速为 cc。声源以 vs<cv_s<c 沿直线匀速趋近静止听者；忽略反射和风。(a) 在一个发声周期内，求声源前方相邻波面的间距。(b) 求听者接收到的频率 fof_o。(c) 求 vs→0v_s\to0 及 vs→c−v_s\to c^- 时的极限，并解释声源靠近时频率升高的原因。所有量均按题目规定的符号约定表示，并注明单位及物理允许范围。前一小问求出的结果可用于后续小问。 解答应写明每一步使用的物理规律与符号约定，并检查所得表达式的量纲是否符合目标物理量。除题目明确给出的理想化条件外，不需引入其他效应；符号均沿用题目定义。若存在极限情形或对称性，也应核对结果是否符合相应条件。 推导中引入的辅助量应在最终答案中换回题目原有符号。请勿混淆各小问给出的条件，并清楚区分初态与末态，或作用原因与产生的结果。 这些约定适用于本题的全部小问。结果应保持符号、数值关系与所选参考方向一致，并且每个结论都应能由已给条件和基本物理定律推出。
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
fo=fscc−vs;fo(0)=fs,fo→∞ (vs→c−)\boxed{f_o=f_s\frac{c}{c-v_s};\quad f_o(0)=f_s,\quad f_o\to\infty\ (v_s\to c^-)}
problems.proof.analysis

声源靠近会缩短波峰到达听者的时间间隔，因此听到的频率升高。该公式适用于题设静止空气中的亚声速声源。

problems.proof.pitfall. 静止空气中的波速为 cc，不是 c+vsc+v_s；声源运动已体现在波长中。