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牛顿力学

转动惯量与转动

比较细环与实心圆盘绕轴的质量分布，并验证固定轴关系 I环=MR2I_{\mathrm{环}}=MR^2、I盘=12MR2I_{\mathrm{盘}}=\tfrac12MR^2 与 τ=Iα\tau=I\alpha。

大学

器材

  • 虚拟细环与绕固定轴的实心圆盘
  • “质量 M”与“半径 R”滑块
  • “力矩 τ”与“角速度 ω”滑块
  • 可旋转 3D 画布及角加速度读数

实验步骤

  1. 设定 M 和 R

    用两个滑块设定质量 M 和半径 R，观察细环与圆盘以相同角速度转动。环的质量全部位于半径 R 处，而盘的质量向内侧分布，因此 I环=MR2I_{\mathrm{环}}=MR^2 是 I盘=12MR2I_{\mathrm{盘}}=\tfrac12MR^2 的两倍；请对照显示值与这两个公式。

  2. 施加力矩

    向上拖动力矩滑块 τ，读取各物体的角加速度 α。同样的 τ 下环的 I 更大，α 更小；检查读数是否满足 α=τ/I\alpha=\tau/I。

  3. 转动动能

    用滑块设定角速度 ω，比较两物体的转动动能 Krot=12Iω2K_{\mathrm{rot}}=\tfrac12I\omega^2。然后保持 M 不变把 R 加倍：因 I∝MR2I\propto MR^2，相同 ω 下储存的能量变为四倍。

  4. 预测加速竞赛

    先预测在同一力矩下哪个物体先达到目标 ω，再动手验证。改变 M 或 R 重复实验，并用 I=∫r⊥2 dmI=\int r_\perp^2\,dm 和 τ=Iα\tau=I\alpha 解释结果。

模拟

实验历史

牛顿的《原理》（1687）主要把物体当作质点处理，因此对延展物体的转动仍缺少一般理论。克里斯蒂安·惠更斯在《摆钟论》（1673）中通过摆来研究这一问题，他把分布质量与等效质点比较以求出振动中心——这是转动惯量概念的早期雏形。 18世纪中叶，莱昂哈德·欧拉建立了刚体动力学，其代表作《刚体运动论》（1765）以接近现代的形式给出了绕主轴的转动惯量与惯量积。圆环的 MR2MR^2、圆盘的 12MR2\tfrac12MR^2 等标准公式都源于这一分析力学传统，后来由拉格朗日及后世教材系统化。

相关物理学家

Isaac NewtonGalileo Galilei

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