国际物理奥林匹克 · 2012年

试题

第 1 题从高 $h=45\,\mathrm m$ 的悬崖边缘以初速度 $u=10\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 水平抛出小球。忽略空气阻力，取 $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。以抛出点为原点，水平轴指向前方，竖直轴向上。地面比抛出点低 $h$ ；将小球视为质点，落地前不与其他物体碰撞。时间从小球离开崖边的瞬间开始计。小球抛出后只受重力作用。分别处理水平与竖直分量，以到达地面的时刻作为落地时刻；射程从悬崖正下方起算，速度方向角相对水平线测量。初速度的水平分量为 $u$ ，竖直分量为零。落地前速度须将两个相互垂直的分量作矢量合成，不能将速率分量直接相加。注意区分着地点相对崖底的位置与速度方向角；两者的参考基准不同，所有距离均取正的大小。水平射程是标量，速度分量则保留方向信息。取向下为正可简化竖直位移方程，但最后必须说明速度方向。 (a) 求落地时间和水平射程。(b) 求碰撞前瞬间的速度分量。(c) 求落地速率及其相对水平线向下的夹角。解答: 1
第 2 题质量 $m=2.0\,\mathrm{kg}$ 的物块从静止开始沿倾角 $45^\circ$ 的斜面下滑 $s=5.0\,\mathrm m$ 。滑动摩擦因数为 $\mu=0.20$ ，取 $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。斜面固定，物块下滑过程中始终与斜面接触。摩擦因数 $\mu$ 沿全程不变，滑动摩擦力方向与运动相反。物块沿斜面作直线运动，从初始位置到题给终点的加速度保持恒定。垂直于斜面的方向没有加速度，该方向受力平衡。运动过程中摩擦因数不变，物块从静止释放后一直滑到终点而不停止；计时零点取释放时刻。物块从静止开始运动，沿斜面的重力分量与摩擦力均为常量。因此从起点到终点都可用匀加速直线运动关系处理。法向力方向没有运动，故支持力等于重力的法向分量；沿斜面方向才需要比较重力分量与摩擦力。路程 $s$ 是斜面上的长度。 (a) 求支持力和沿斜面方向的加速度。(b) 求滑到末端时的速率。(c) 假设加速度恒定，求下滑时间。解答: 1
第 3 题理想电源电动势 $V=18\,\mathrm V$ 与电阻 $R_1=3.0\,\Omega$ 、 $R_2=6.0\,\Omega$ 串联。电路闭合 $t=60\,\mathrm s$ ；忽略内阻，并认为各量恒定。电阻均为欧姆元件，并由电阻可忽略的理想导线串联。电路闭合期间电源电压保持恒定。规定常规电流从正极流经两个电阻到负极；耗散的电能转化为热。假设开关闭合后立即形成稳恒电流。电阻值不随温升改变，电源在整个过程中保持相同电压；功率和能量按电阻产生的焦耳热计算。稳态时电流、电阻两端电压和各电阻发热功率均恒定。电源提供的总电能等于各电阻吸收并转化为热的能量总和。电流方向采用常规电流约定，能量按闭合时间累计。功率由电源持续提供，电能的焦耳数可由总功率乘实际通电时间得到。 (a) 求等效电阻和电路电流。(b) 求每个电阻两端的电压并检验回路定律。(c) 求总耗散功率及 $60\,\mathrm s$ 内电源提供的能量。解答: 1