国际物理奥林匹克 · 2010年

试题

第 1 题质量 $m_1=2.0\,\mathrm{kg}$ 、 $m_2=3.0\,\mathrm{kg}$ 的两物体由轻质不可伸长细绳跨过无质量、无摩擦滑轮相连，系统由静止释放。取 $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。细绳始终绷紧且不在滑轮槽中打滑；滑轮可自由转动，因此绳两侧张力相同。两物体只沿竖直方向运动，较重物体下降的距离和速率分别等于较轻物体上升的距离和速率。研究释放后的运动。忽略细绳和滑轮的质量、空气阻力及滑轮轴摩擦。重力加速度与各物体质量均保持不变，数值答案还应注明运动方向。位移从释放位置起算，运动过程中加速度恒定。释放瞬间两物体均静止，合力恒定，因此系统作匀加速运动；任一时刻两物体的速率大小相同，方向相反。各部分均使用国际单位制，张力方向沿细绳。加速度大小在释放后保持不变，绳两端始终满足位移约束。 (a) 求各物体的加速度和绳张力。(b) 求 $3.0\,\mathrm s$ 后的速率。(c) 求此时各物体移动的距离。解答: 1
第 2 题从高 $h=20\,\mathrm m$ 的悬崖边缘以初速度 $u=15\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 水平抛出小球。忽略空气阻力，取 $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。以抛出点为原点，水平轴指向前方，竖直轴向上。地面比抛出点低 $h$ ；将小球视为质点，落地前不与其他物体碰撞。时间从小球离开崖边的瞬间开始计。小球抛出后只受重力作用。分别处理水平与竖直分量，以到达地面的时刻作为落地时刻；射程从悬崖正下方起算，速度方向角相对水平线测量。初速度的水平分量为 $u$ ，竖直分量为零。落地前速度须将两个相互垂直的分量作矢量合成，不能将速率分量直接相加。注意区分着地点相对崖底的位置与速度方向角；两者的参考基准不同，所有距离均取正的大小。水平射程是标量，速度分量则保留方向信息。取向下为正可简化竖直位移方程，但最后必须说明速度方向。 (a) 求落地时间和水平射程。(b) 求碰撞前瞬间的速度分量。(c) 求落地速率及其相对水平线向下的夹角。解答: 1
第 3 题质量 $m=2.0\,\mathrm{kg}$ 的物块从静止开始沿倾角 $30^\circ$ 的斜面下滑 $s=4.0\,\mathrm m$ 。滑动摩擦因数为 $\mu=0.20$ ，取 $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。斜面固定，物块下滑过程中始终与斜面接触。摩擦因数 $\mu$ 沿全程不变，滑动摩擦力方向与运动相反。物块沿斜面作直线运动，从初始位置到题给终点的加速度保持恒定。垂直于斜面的方向没有加速度，该方向受力平衡。运动过程中摩擦因数不变，物块从静止释放后一直滑到终点而不停止；计时零点取释放时刻。物块从静止开始运动，沿斜面的重力分量与摩擦力均为常量。因此从起点到终点都可用匀加速直线运动关系处理。法向力方向没有运动，故支持力等于重力的法向分量；沿斜面方向才需要比较重力分量与摩擦力。路程 $s$ 是斜面上的长度。 (a) 求支持力和沿斜面方向的加速度。(b) 求滑到末端时的速率。(c) 假设加速度恒定，求下滑时间。解答: 1