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第 2 题

将电池建模为恒定电动势 EE 与内阻 r>0r>0 串联，并向纯电阻负载 R>0R>0 供电；忽略导线电阻和温度变化。令电路电流为 II，电池端电压（亦为负载电压）为 UU，负载功率为 PRP_R。(a) 用 E,r,RE,r,R 表示 I,UI,U。(b) 求 PRP_R 及电源内耗散功率。(c) 求使 PRP_R 最大的 RR、最大功率以及该工作点的效率。 电动势表示电源对单位电荷所做的功；接入负载并有电流时，内阻也会产生电压降。因此端电压低于电动势，电能同时在负载和内阻中转化为热。改变外电阻并考察负载功率随之如何变化，可以定量确定最大功率条件，并比较此时有用输出与电源总输出的效率。 对运动的每个区间或过程分别应用相应物理定律，并通过边界处的连续条件衔接结果。所有公式都沿用题目规定的正方向和符号约定，不额外假设题目未给出的数值，答案以已定义符号表示。最后还应检查长度、时间、质量、温度、电荷等单位是否一致，并核对方向及大小关系是否符合物理情形。
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
I=ER+r, U=ERR+r, PR=E2R(R+r)2; Rmax⁡=r, Pmax⁡=E24r,ηmax⁡=12\boxed{I=\frac{E}{R+r},\ U=\frac{ER}{R+r},\ P_R=\frac{E^2R}{(R+r)^2};\ R_{\max}=r,\ P_{\max}=\frac{E^2}{4r},\eta_{\max}=\frac12}
problems.proof.analysis

电流、电压、功率量纲分别为 A、V、W。外电阻趋于极大或极小时负载功率均趋于零，验证所求内部最大值。