第 2 题

平行板电容器极板面积为

A

、真空间距为

d

，初始连接理想电源并保持电压

V

。将相对介电常数

\kappa>1

的均匀线性电介质缓慢插入直至充满间隙，忽略边缘效应。令

\varepsilon_0

为真空介电常数，

C_0=\varepsilon_0A/d

。(a) 求初末电荷与电场能量。(b) 求插入过程中电源做功。(c) 用能量守恒求电场对电介质所做的机械功。所有量均按题目规定的符号约定表示，并注明单位及物理允许范围。前一小问求出的结果可用于后续小问。解答应写明每一步使用的物理规律与符号约定，并检查所得表达式的量纲是否符合目标物理量。除题目明确给出的理想化条件外，不需引入其他效应；符号均沿用题目定义。若存在极限情形或对称性，也应核对结果是否符合相应条件。推导中引入的辅助量应在最终答案中换回题目原有符号。请勿混淆各小问给出的条件，并清楚区分初态与末态，或作用原因与产生的结果。

problems.proof.stepOf

problems.proof.prevStep problems.proof.nextStep

\boxed{Q_f=\kappa C_0V,\;U_i=\tfrac12C_0V^2,\;U_f=\tfrac12\kappa C_0V^2,\;W_{\rm source}=(\kappa-1)C_0V^2,\;W_{\rm field}=\tfrac12(\kappa-1)C_0V^2}

problems.proof.analysis

电场能增加为电源功的一半，另一半为吸引介质进入电容器的机械功。各式量纲分别符合电荷和能量。

problems.proof.pitfall. 保持符号约定一致，并只保留有物理意义的解或方向。