第 1 题

质量为

m

的小物体静止在竖直轻弹簧自由端上方高度

h

处，弹簧劲度系数为

k

并竖直放在水平地面上。释放物体使其竖直下落并接触弹簧；忽略空气阻力及一切耗散，规定压缩方向为正，重力加速度为

g

。以

x

表示最大压缩量。(a) 求

x

并检验

h=0

的极限。(b) 压缩量为

y

（

0\le y\le x

）时求物体速度。(c) 求速率最大时的压缩量及最大速率。所有量均按题目规定的符号约定表示，并注明单位及物理允许范围。前一小问求出的结果可用于后续小问。解答应写明每一步使用的物理规律与符号约定，并检查所得表达式的量纲是否符合目标物理量。除题目明确给出的理想化条件外，不需引入其他效应；符号均沿用题目定义。若存在极限情形或对称性，也应核对结果是否符合相应条件。推导中引入的辅助量应在最终答案中换回题目原有符号。请勿混淆各小问给出的条件，并清楚区分初态与末态，或作用原因与产生的结果。

problems.proof.stepOf

problems.proof.prevStep problems.proof.nextStep

\frac12mv^2+\frac12ky^2=m g(h+y)\quad\Rightarrow\quad v(y)=\sqrt{2g(h+y)-\frac{k}{m}y^2}

problems.proof.analysis

压缩量为 $y$ 时物体下降了 $h+y$ ，弹簧储能为 $ky^2/2$ 。由能量守恒得速度平方；下行时取正平方根。