第 2 题

面积为

A

、板间距为

d

的平行板电容器接在恒定电压

V

上。相对介电常数为

\kappa

的电介质沿平行极板方向填充板长的比例

x

，其余为空气（真空）。忽略边缘效应，求电容、正极板电荷及电场能量。 (a) 明确假设并建立所求物理量的控制方程。(b) 用已知符号求解，并说明结果的方向、符号或物理性质。(c) 在简单极限下检验结果，并说明模型成立条件。全程使用一致的国际单位制，沿用题设符号，并满足全部几何约束和初始条件。若未知量不止一个，应确认独立方程的数量足以确定这些未知量。根据所选坐标轴解释推导出的符号，只保留满足题设条件的实数解。对于给出数值条件的物理量，答案须以国际单位制和适当有效数字表示，并与中间的符号表达式相互核对。还应在保留题设理想化条件的同时检查方程两侧是否具有相同的物理量纲。中间引入的辅助变量在最终答案中要换回题设符号，并明确写出单位。若题目要求比较不同状态，应从同一初始条件出发比较结果，并确认它们不违背守恒关系和边界条件。代入数值时只使用题目给出的数据，不额外假定未知参数。书写结论时同时说明所用的参考系、过程方向及适用范围，并将最终数值与符号结果对应起来。

problems.proof.stepOf

problems.proof.prevStep problems.proof.nextStep

Q_+=CV=\frac{\varepsilon_0AV}{d}[1+(\kappa-1)x],\quad U=\frac12CV^2

problems.proof.analysis

电源保持 $V$ 不变，因此正极板电荷为 $Q_+=CV$ ，储存的场能为 $CV^2/2$ 。

problems.proof.pitfall. 不能忽略初始条件或题设约束；超出物理范围的代数根不能作为答案。