Bài toán Kepler: quỹ đạo và mặt tác dụng

Quỹ đạo trong thế hấp dẫn nghịch đảo bình phương được phân loại bởi độ lệch tâm. Mặt S(q,t) bên phải minh họa dạng hàm tác dụng Hamilton–Jacobi cho một nghiệm giản lược.

1. Quỹ đạo Kepler và S(q,t)

Mặt S minh họa một nghiệm Hamilton–Jacobi rời rạc hóa, không phải dạng phổ quát của hàm tác dụng.

Kéo chuột hoặc ngón tay để xoay góc nhìn; dùng các phím mũi tên khi canvas được chọn.

Mô hình hóa định tính: tọa độ đã chuẩn hóa để làm rõ cấu trúc hình học; các tham số không biểu diễn hệ đơn vị cụ thể trừ khi được ghi rõ.

Dữ liệu và đường biểu diễn được tính lại trong trình duyệt mỗi khung hình; mọi thao tác chỉ thay đổi các tham số của mô hình minh họa.

Kết quả là mô hình minh họa, không thay thế nghiệm giải tích khi cần độ chính xác định lượng.

2. Định luật diện tích: mặt quét bằng nhau

Hai tam giác tô màu được quét trong cùng một khoảng thời gian $Δt = T/12$: một gần cận điểm (cung dài) và một gần viễn điểm (cung ngắn). Định luật hai Kepler — $dA/dt = L/2m$ = const — bảo đảm hai tam giác có cùng diện tích.

Hành tinh chạy nhanh nhất ở cận điểm và chậm nhất ở viễn điểm vì mô men động lượng $L = m r v_t$ bảo toàn.